GRUP SIKLIK DAN ISOMORFISMA

A. GRUP SIKLIK
Definisi
Unsur a pada grup G dikatakan membangun G dan a adalah pembangun G jika =G.
Sebuah grup G dikatakan siklik jika terdapat unsur a elemen G yang membangun G.
Jika diberikan grup G dan elemen a anggota dari G jika :
G={an|n є Z }
Maka a dinamakan pembangun G dari grup G=
,Dan dinamakan Grup siklik
Teorema
Semua grup siklik adalah grup komutatif
Bukti :
Adb : Grup siklik itu komutatif
Misalkan G adalah grup siklik yang dibangun oleh a, yaitu :
G =
={an|n,anggota bilangan bulat }
Ambil m1,m2 sembarang anggota di G, maka terdapat bilangan bulat r dan s sehingga m1=ar dan m2=as
Maka :
m1m2=aras = a r+s = a s+r = as ar = m2m1
Jadi G grup Komutatif.
Definisi :
Misalkan n adalah suatu bilangan positif dan h, k dan r adalah sembarang bilangan bulat.
Maka, h+k = nq + r untuk 0 ≤ r < n
adalah jumlah modulo n
Teorema
Himpunan {0,1,2,…,n-1} adalah grup siklik Zn dengan operasi jumlah modulo.
Teorema
Grup dengan tingkat Prim senantiasa Siklik
Bukti :
Misalkan G adalah grup dengan tingkat [G:e] = p Dan p adalah bilangan prim,
Dan g anggota G, g ≠ e.
Pandang subgroup H=
Berdasarkan teorema lagrange [H:e] | [G:e] karena g ≠ e maka [H:e] ≠ 1
Maka haruslah [H:e] p yaitu =H=G

B. ISOMORFISMA GRUP
Grup Isomorfisma merupakan grup Homomorfisma yang bersifat bijektif .
Definisi.
Sebuah isomorfisma dari grup G ke grup G’ adalah sebuah fungsi yang bersifat satu-satu pada dari G ke G’ dan untuk setiap x dan y di G berlaku:
(xy)φ = (xφ) (yφ)
Grup G dan G’ kemudian dikatakan isomorf, dan diberi notasi G ≈ G’.
Sifat 1.
Misaklan φ : G → G` suatu isomorf grup maka pemetaan balikan χ : G` à G juga suatu isomorfisma Grup.
Sifat 2
Relasi Isomorfisma dalam himpunan Grup merupakan Relasi ekivalen.
Bukti :
1. Berdasarkan teorema 1, pemetaan identitas eφ : G → G suatu isomorfisma jadi G≈G
2. Misalkan G≈G`. Terdapat isomorfisma φ : G → G` Dan menurut sifat 1 pemetaan balikannya χ : G` → G juga suatu isomorfisma. Kita peroleh G`≈G
3. Missal G≈G`Dan G≈G“. Sehingga φ : G → G` Dan χ : G` → G“
maka komposisinya φ χ: G → G“ merupakan suatu relasi ekivalen karena memenuhi refleksif, simetri dan transitif.
Teorema 1
Jika φ: G → G’ suatu isomorfisma dari G ke G’, dan e adalah identitas dari G maka e φ identitas dari G’. dan juga
a-1 φ=(a φ)-1 untuk semua a є G.
Bukti.
Misal x’ є G’, karena φ pada maka terdapat x є G sehingga xφ = x’. Kemudian
x’ = x φ = (ex) φ = (e φ) (x φ)= (e φ )x‘
Dengan cara sama diperoleh
x’ = x φ = (xe) φ = x φ) (e φ)= x’(e φ )
untuk semua x’ є G kita dapatkan
(e φ )x‘ = x’ = x’(e φ )
Sehingga e φ adalah identitas dari G’.
Selanjutnya untuk a є G kita dapatkan
e φ= (a-1a) φ = (a-1 φ) (a φ)
Dengan cara sama diperoleh
e φ= (aa-1) φ= (a φ) (a-1 φ)
Akibatnya a-1φ = (a φ)-1
Teorema 2
Sebarang grup siklik tak hingga isomorf dengan Z, grup bilangan bulat terhadap operasi jumlah.
Teorema 3
Sembarang Grup Siklik tak hingga isomorf dengan Z , yaitu Grup bilangan Bulat dengan operasi jumlah.
Teorema 4 (Cayley)
Setiap grup isomorf pada suatu grup permutasi.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: