Contoh tentang Grup

Contoh:

  1. Himpunan Z terhadap operasi + adalah sebuah grup. Semua sifat dan kondisi grup dipenuhi oleh Z, bahkan Z merupakan grup abelian.
  2. Himpunan R* (Real tanpa nol) dengan operasi # yang didefinisikan dengan a#b=|a|.b bukan suatu grup walaupun sifat assosiatif, dan invers terpenuhi, tetapi terdapat dua identitas yaitu 1 dan -1 (berdasarkan teorema ketunggalan identitas).
  3. Himpunan R* (Real tanpa nol) terhadap operasi perkalian merupakan sebuah grup karena semua sifat dan kondisi grup terpenuhi di R*.
Iklan

GRUP SIKLIK DAN ISOMORFISMA

A. GRUP SIKLIK
Definisi
Unsur a pada grup G dikatakan membangun G dan a adalah pembangun G jika =G.
Sebuah grup G dikatakan siklik jika terdapat unsur a elemen G yang membangun G.
Jika diberikan grup G dan elemen a anggota dari G jika :
G={an|n є Z }
Maka a dinamakan pembangun G dari grup G=
,Dan dinamakan Grup siklik
Teorema
Semua grup siklik adalah grup komutatif
Bukti :
Adb : Grup siklik itu komutatif
Misalkan G adalah grup siklik yang dibangun oleh a, yaitu :
G =
={an|n,anggota bilangan bulat }
Ambil m1,m2 sembarang anggota di G, maka terdapat bilangan bulat r dan s sehingga m1=ar dan m2=as
Maka :
m1m2=aras = a r+s = a s+r = as ar = m2m1
Jadi G grup Komutatif.
Definisi :
Misalkan n adalah suatu bilangan positif dan h, k dan r adalah sembarang bilangan bulat.
Maka, h+k = nq + r untuk 0 ≤ r < n
adalah jumlah modulo n
Teorema
Himpunan {0,1,2,…,n-1} adalah grup siklik Zn dengan operasi jumlah modulo.
Teorema
Grup dengan tingkat Prim senantiasa Siklik
Bukti :
Misalkan G adalah grup dengan tingkat [G:e] = p Dan p adalah bilangan prim,
Dan g anggota G, g ≠ e.
Pandang subgroup H=
Berdasarkan teorema lagrange [H:e] | [G:e] karena g ≠ e maka [H:e] ≠ 1
Maka haruslah [H:e] p yaitu =H=G

B. ISOMORFISMA GRUP
Grup Isomorfisma merupakan grup Homomorfisma yang bersifat bijektif .
Definisi.
Sebuah isomorfisma dari grup G ke grup G’ adalah sebuah fungsi yang bersifat satu-satu pada dari G ke G’ dan untuk setiap x dan y di G berlaku:
(xy)φ = (xφ) (yφ)
Grup G dan G’ kemudian dikatakan isomorf, dan diberi notasi G ≈ G’.
Sifat 1.
Misaklan φ : G → G` suatu isomorf grup maka pemetaan balikan χ : G` à G juga suatu isomorfisma Grup.
Sifat 2
Relasi Isomorfisma dalam himpunan Grup merupakan Relasi ekivalen.
Bukti :
1. Berdasarkan teorema 1, pemetaan identitas eφ : G → G suatu isomorfisma jadi G≈G
2. Misalkan G≈G`. Terdapat isomorfisma φ : G → G` Dan menurut sifat 1 pemetaan balikannya χ : G` → G juga suatu isomorfisma. Kita peroleh G`≈G
3. Missal G≈G`Dan G≈G“. Sehingga φ : G → G` Dan χ : G` → G“
maka komposisinya φ χ: G → G“ merupakan suatu relasi ekivalen karena memenuhi refleksif, simetri dan transitif.
Teorema 1
Jika φ: G → G’ suatu isomorfisma dari G ke G’, dan e adalah identitas dari G maka e φ identitas dari G’. dan juga
a-1 φ=(a φ)-1 untuk semua a є G.
Bukti.
Misal x’ є G’, karena φ pada maka terdapat x є G sehingga xφ = x’. Kemudian
x’ = x φ = (ex) φ = (e φ) (x φ)= (e φ )x‘
Dengan cara sama diperoleh
x’ = x φ = (xe) φ = x φ) (e φ)= x’(e φ )
untuk semua x’ є G kita dapatkan
(e φ )x‘ = x’ = x’(e φ )
Sehingga e φ adalah identitas dari G’.
Selanjutnya untuk a є G kita dapatkan
e φ= (a-1a) φ = (a-1 φ) (a φ)
Dengan cara sama diperoleh
e φ= (aa-1) φ= (a φ) (a-1 φ)
Akibatnya a-1φ = (a φ)-1
Teorema 2
Sebarang grup siklik tak hingga isomorf dengan Z, grup bilangan bulat terhadap operasi jumlah.
Teorema 3
Sembarang Grup Siklik tak hingga isomorf dengan Z , yaitu Grup bilangan Bulat dengan operasi jumlah.
Teorema 4 (Cayley)
Setiap grup isomorf pada suatu grup permutasi.

HOW TO LEARN ENGLISH

if you wanna learn english, get these steps:

1. You gotta have a great deal of patience in learning it

2. Learn it with love

3. Learn language needs practicing constantly

4. Language is habit:

  • Speaking is mouth action, so use your mouth
  • Reading is mouth and eyes action, so use your mouth and your eyes
  • Listening is ears action, so use your ears
  • Writing is hand action, so use your hand

5. No being afraid of making mistakes

6. Keep your cool and just spit it out

suka, cinta dan sayang

Dihadapan orang yang kau cintai,
musim dingin berubah menjadi musim semi yang indah

Dihadapan orang yang kau sukai,
musim dingin tetap saja musim dingin

Hanya suasananya sedikit lebih indah

Dihadapan orang yang kau cintai,
jantungmu tiba-tiba berdebar lebih cepat

Dihadapan orang yang kau sukai,
kau hanya merasa senang dan gembira saja

Apabila engkau melihat mata orang yang kau cintai,

matamu berkaca-kaca

Apabila engkau melihat kepada mata orang yang kau sukai,

engkau hanya tersenyum saja


Baca lebih lanjut

apa yg lebih penting

Forgive me if I copied your written, ‘coz  I want all of my best friends to know the history. Thanks before……..
Beberapa tahun yang lalu di Olympics Khusus Seattle, sembilan orang kontestan, semuanya cacat tubuh atau mental, berjajar di garis awal untuk mengikuti perlombaan lari 100-yard. Pada bunyi tembakan, mereka semua beranjak maju-tidak melesat secepat kilat, tapi lebih mirip seperti menikmati perlombaan tersebut hingga tiba di garis akhir dan menang.

Semuanya begitu, kecuali seorang anak lelaki yang tersandung di aspal, lalu terguling beberapa kali, dan mulai menangis. Kedelapan peserta lainnya mendengar anak lelaki itu menangis. Mereka mengurangi kecepatan dan menoleh ke belakang. Mereka semua berbalik dan kembali. Everyone of them!. Anak perempuan yang menderita Down syndrome/Mongoloid membungkuk dan menciumnya lalu berkata, “Ini akan membuatmu merasa lebih nyaman.” Kesembilan anak tadi semuanya bergandengan tangan dan berjalan melintasi garis akhir tersebut bersama-sama. Semua orang di stadion itu bangkit berdiri, dan suara tepuk-tangan terdengar bergemuruh selama beberapa menit.

Orang-orang yang ada di situ sampai sekarang masih mengisahkan cerita ini. Mengapa? Karena jauh di lubuk hati, kita tahu akan hal yang satu ini: Apa yang penting dalam hidup ini adalah lebih daripada sekedar menang untuk diri sendiri. Apa yang benar-benar penting dalam hidup ini adalah menolong orang lain di dalam perlombaan mereka, sekali pun hal itu berarti mengurangi kecepatan dan merubah arah tujuan kita.

successful

CARA BERPIKIR ORANG SUKSES
“Successful people think differently than unsuccessful people”

Big picture thinking bukan small thinking
Cara berpikir ini menjadikan mereka terus belajar, banyak mendengar dan
terfokus sehingga cakrawala mereka menjadi luas.

Focused thinking bukan scattered thinking
Sehingga dapat menghemat waktu dan energi, loncatan-loncatan besar dapat
mereka raih.

Creative thinking bukan restrictive thinking
Proses berpikir kreatif ini meliputi: think-collect-create-correct-connect.

Realistic thinking bukan fantasy thinking
Memungkinkan mereka meminimalkan risiko, ada target &  plan, security,
sebagai Katalis dan memiliki Kredibilitas.

Strategic thinking bukan random thinking
Sehingga simplifies, customize, antisipatif, reduce error and influence
other dapat dilakukan.

Possibility thinking bukan limited thinking
Mereka dapat berpikir bebas dan menemukan solusi bagi situasi yang
dihadapi.

Reflective thinking bukan impulsive thinking
Memungkinkan mereka memiliki integritas, clarify big picture, confident
decision making.

Innovative thinking bukan popular thinking
Menghindari cara berpikir yang awam untuk meraih sesuatu yang lebih
baik.

Shared thinking bukan solo thinking
Berbagi pemikiran dengan orang lain untuk mendapatkan hasil yang lebih
baik.

Unselfish thinking bukan selfish thinking
Memungkinkan mereka berkolaborasi dengan pemikian orang lain.

Bottom line thinking bukan wishful thinking
Berfokus pada hasil sehingga dapat meraih hasil berdasarkan potensi
pemikiran yang dimiliki.

D O ‘A

Do’a adalah ibadah. Demikianlah Rasulullah menjelaskan tentang keutamaan dan pentingnya do’a. Do’a merupakan ungkapan perasaan dan permohonan seorang hamba kepada Allah. Pemilik, Pemelihara dan Penguasa alam semesta. Do’a juga merupakan wujud ketundukan, kecintaan kepada Allah serta kesadaran seorang hamba akan kelemahan dirinya dan kebesaran serta keagungan Penciptanya. Sesungguhnya dalam do’a ada kekuatan, keyakinan dan optimisme dalam menghadapi berbagai persoalan kehidupan. Besarnya keutamaan serta pentingnya do’a diperkuat dengan adanya perintah Allah kepada hamba-hamba-Nya untuk meminta dan berdo’a kepada-Nya. “Dan Tuhanmu berfirman: “Berdo’alah kepada-Ku, niscaya akan Kuperkenankan bagimu. Sesungguhnya orang-orang yang menyombongkan diri dari menyembahKu akan masuk neraka Jahannam dalam keadaan hina-dina”. (QS. 40:60)

Diriwayatkan oleh Nu’man bin Basyir a bahwa Rasulullah membaca ayat di atas setelah bersada “Do’a itu adalah Ibadah”. Hal ini menunjukkan bahwa yang dimaksud dengan menyombongkan diri dari menyembah-Nya dalam ayat tersebut adalah menyombongkan diri dari berdo’a kepada-Nya. Maka amatlah buruk kesombongan tersebut, bagaimana mungkin seorang hamba menyombongkan diri dari berdo’a kepada Allah yang telah menciptakannya, memberinya kehidupan, rizki serta banyak kenikmatan.

Dalam ayat lain Allah berfirman: “Dan apabila hamba-hamba-Ku bertanya kepadamu tentang Aku, maka (jawablah), bahwasanya Aku adalah dekat. Aku mengabulkan permohonan orang yang berdo’a apabila ia berdo’a kepada-Ku, maka hendaklah mereka itu memenuhi (segala perintah)-Ku dan hendaklah mereka beriman kepada-Ku, agar mereka selalu berada dalam kebenaran”. (QS. 2:186). Baca lebih lanjut